今日热讯：圆锥体积的草根求解

早上刚睡醒，刷到如下一个视频：

【为什么圆锥的体积公式要乘以三分之一？】 https://www.bilibili.com/video/BV1P24y1M7wn/?share_source=copy_web&vd_source=d0290c186dbdbea67fc7cb364f59fe19

视频内容很简单，小学都学过：圆锥体积等于同底面、高度的圆柱体积的 1/3 。通过倒水，将小学上课的时光由重现了一次。

(资料图片仅供参考)

评论里主要两个观点：1、视频为验证、而非证明；2、要想证明，需要用积分。

我当时想，在古代，实验也是一种很重要的证明方法；原视频题目也没有本质上的错误。但细想后觉得，这个问题值得一个普通人多思考一会的……古人很早就建立了经典几何学，并以此推导、证明出了很多几何体的面积、体积公式，圆锥体积自然也包括其中——难道他们还要用到一千多年后才完善的微积分这一数学工具？

起床后，我对此想了片刻，有了自己的经典几何层面的证明方法……以下方法存粹为个人无聊，也未查阅资料、不知道是否已经被某个先祖们提出来过了；

证明开始：（还是利用了点朴素的微分思想的）

1、截取圆锥、圆柱组合体的一段很小的弧度，作为提取出来的一个微分单元；当弧度足够小的时候，BC段可以假设为直线段；

2、以面ABC将上述微分单元分为两个块；显然，块1体积为圆锥部分的微分单元，圆柱微分单元体积为 块1+块2；

3、以面ABD将块2分为两个块：块3+块4；

4、同底面、同高度的三角锥体，体积也相同；因此以下体积等式成立：

块3=块4，块1=块3（很多种方法都可以简单得到这一步）；

因此：圆柱微分单元（块1+块2）=3倍的圆锥微分单元（块1）

所有段弧度相加的话，这一对应关系不变。

证明结束

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